/FONT#1=NGB25/FONT#2=BDJ25/FONT#3=BDJ20/FONT#4=GRKL51[  1,RWG]/FONT#5=GRKL30[  1,RWG]/FONT#6=BDR40/FONT#7=PLUNK2[  1,RWG]/FONT#0=GRFX25/FONT#8=BASL30/FONT#9=BASI30/FONT#10=BASB30/FONT#11=SUP/FONT#12=SUB/FONT#13=MISC25/FONT#14=GRK30/FONT#15=FIX20/TMAR=200/PMAR=1998/BMAR=2
␈↓ ∧0␈β↓H␈¬εRelativistic Systems of Automata
␈↓ α_␈βα⊂␈¬λWe␈α
are␈α
taking␈α
an␈α
idea␈αfrom␈αthe␈αtheory␈αof␈αrelativity␈αand␈αapplying␈αit␈αto␈αsystems␈αof␈αinteracting
␈↓ ↓H␈βα0␈¬λautomata.␈α≡The␈α∂idea␈α∞is␈α∞that␈α∞instead␈α∞of␈α∞having␈α∞a␈α∞single␈α∞time␈α∞variable␈α∞of␈α∞which␈α∞the␈α∞state␈α∞at␈α∞every
␈↓ ↓H␈βαP␈¬λposition␈α∪in␈α∪space␈α∪is␈α∪a␈α∪function,␈α∪each␈α∪body␈α∪has␈α∪its␈α∪own␈¬	␈α∪local␈α∪time␈¬λ␈α∩and␈α∩there␈α∩is␈α∩no␈α∩notion␈α∩of
␈↓ ↓H␈βαp␈¬λsimultaneity␈αfor␈αevents␈αseparated␈αin␈αspace.␈α⊗The␈αfollowing␈αnotion␈αdoes␈αnot␈α
depend␈α
on␈α
understanding
␈↓ ↓H␈ββ⊂␈¬λanything␈αabout␈αrelativity␈αtheory,␈αand␈αafter␈αwe␈αhave␈αexplained␈αit␈αwe␈αwill␈αsay␈αwhat␈αit␈αmight␈αbe␈αgood
␈↓ ↓H␈ββ0␈¬λfor.
␈↓ α_␈ββp␈¬λWe␈αstart␈αwith␈αa␈αcollection␈αof␈αentities␈¬
␈αA␈¬i␈¬λ␈αwhich␈αare␈αthe␈αautomata␈αof␈αthe␈αsystem.␈α⊗Each␈¬
␈αA␈¬i␈¬λ␈αhas␈αa
␈↓ ↓H␈β∧⊂␈¬λset␈¬
␈α∂states␈α∂(A␈¬i␈¬
)␈¬λ␈α∂which␈α∞is␈α∞the␈α∞set␈α∞of␈α∞its␈α∞possible␈α∞states.␈α≤Another␈α∞set␈α∞associated␈α∞with␈¬
␈α∞A␈¬i␈¬λ␈α∞is␈¬
␈α∞times␈α∞(A␈¬i␈¬
)
␈↓ ↓H␈β∧0␈¬λwhich␈α∞has␈α∞a␈α∞partial␈α∞ordering␈α∞for␈α∞which␈α∞<␈α∞is␈α∞used.␈α≤A␈α∞state␈α∞history␈α
of␈α
an␈α
automaton␈α
A␈¬i␈¬λ␈α
is␈α
a␈α
map.
␈↓ ↓H␈β∧P␈¬
Statehis:␈α
times(A␈¬i␈¬
)␈¬λ→␈¬
states(A␈¬i␈¬
)␈¬λ.␈α~(In␈α
the␈α
usual␈¬	␈α
non-relativistic␈¬λ␈α
automata␈α
theory,␈α
each␈¬
␈αtimes␈α(A␈¬i␈¬
)␈¬λ␈αis␈αthe
␈↓ ↓H␈β∧p␈¬λset␈α⊂of␈α⊂integers␈α⊂and␈α⊂there␈α⊂is␈α∂a␈α∂distinguished␈α∂isomorphism␈α∂between␈¬
␈α∂times␈α∂(A␈¬i␈¬
)␈¬λ␈α∂and␈α∂a␈α∂universal␈α∂set
␈↓ ↓H␈β¬⊂␈¬
times␈¬λ␈α
isomorphic␈α
to␈α
the␈α
integers.)␈α~There␈α
are␈α
two␈α
main␈α
cases␈α
of␈αinterest␈αfor␈¬
␈αtimes␈α(A␈¬i␈¬
)␈¬λ,␈αnamely␈αthe
␈↓ ↓H␈β¬0␈¬λintegers␈αand␈αthe␈αreal␈αnumbers.␈α_Some␈αsubautomata␈αof␈αa␈αsystem␈αmay␈αhave␈αinteger␈αtimes␈αwhile␈αothers
␈↓ ↓H␈β¬P␈¬λmay␈α
have␈α
real␈α
times.␈α~Even␈α
if␈α
both␈α
have␈α
integer␈α
times␈α
they␈α
may␈αnot␈αcorrespond␈αin␈αa␈αsimple␈αway␈α-
␈↓ ↓H␈β¬p␈¬λone␈αclock␈αmay␈αtick␈α
every␈α
second␈α
at␈α
WWV␈α
in␈α
Boulder␈α
Colorado␈α
and␈α
the␈α
other␈α
may␈α
tick␈α
once␈α
a␈α
school
␈↓ ↓H␈βε⊂␈¬λday␈α
in␈α
Rio␈α
de␈α
Janeiro.
␈↓ α_␈βεP␈¬λIn␈α∩the␈α∩examples␈α∩we␈α⊃have␈α⊃given,␈α⊃the␈α⊃ordering␈α⊃is␈α⊃total,␈α⊃but␈α⊃you␈α⊃will␈α⊃see␈α⊃that␈α⊃a␈α⊃system␈α⊃of
␈↓ ↓H␈βεp␈¬λautomata␈α∞can␈α∞best␈α∞be␈α∞regarded␈α∞as␈α∞having␈α∞partial␈α
ordered␈α
time␈α
even␈α
though␈α
its␈α
subautomata␈α
have
␈↓ ↓H␈βπ⊂␈¬λtotal␈α∃ordered␈α∃times.␈α*Therefore,␈α∃if␈α∃we␈α∃want␈α∃to␈α∃take␈α∃systems␈α∃of␈α∃automata␈α∀as␈α∀the␈α∀constituent
␈↓ ↓H␈βπ0␈¬λsubautomata␈α
of␈α
yet␈α
bigger␈α
systems,␈α
the␈α
basic␈α
construction␈α
should␈α
use␈α
partial␈α
ordering.
␈↓ α_␈βπp␈¬λBesides␈α⊂the␈α⊂sets␈¬
␈α⊂states(A␈¬i␈¬
)␈¬λ␈α⊂and␈¬
␈α⊂times(A␈¬i␈¬
)␈¬λ,␈α⊂we␈α⊂also␈α⊂have␈α⊂the␈α⊂sets␈¬
␈α⊂inputs(A␈¬i␈¬
)␈α∂and␈α∂outputs(A␈¬i␈¬
)
␈↓ ↓H␈βλ⊂␈¬λwhich␈α⊂give␈α⊂the␈α⊂possible␈α⊂values␈α⊂of␈α⊂inputs␈α⊂and␈α⊂outputs.␈α An␈α⊂input␈α⊂history␈α∂of␈α∂A␈¬i␈¬λ␈α∂is␈α∂a␈α∂map␈¬
␈α∂inhis:
␈↓ ↓H␈βλ0␈¬
times(A␈¬i␈¬
)␈¬λ→␈¬
inputs(A␈¬i␈¬
)␈¬λ␈αand␈αan␈α
output␈α
history␈α
is␈α
a␈α
map␈¬
␈α
outhis:␈α
times(A␈¬i␈¬
)␈¬λ→␈¬
outputs(A␈¬i␈¬
)␈¬λ.␈α∀If␈α
we␈α
need␈α
it,␈α
we
␈↓ ↓H␈βλP␈¬λcan␈α
use␈α
the␈α
concept␈α
of␈α
a␈¬
␈α
history␈¬λ␈α
of␈¬
␈α
A␈¬i␈¬λ␈α
which␈α
is␈α
a␈α
map
␈↓ ∧→␈β	⊂␈¬
hist: times(A␈¬i␈¬
)→inputs(A␈¬i␈¬
)⊗states(A␈¬i␈¬
)⊗outputs(A␈¬i␈¬
)
␈↓ ↓H␈β	P␈¬λLet␈¬
␈αInhis(A␈¬i␈¬
),␈α
Statehis(A␈¬i␈¬
),␈α
Outhis(A␈¬i␈¬
)␈¬λ␈α
and␈¬
␈α
His(A␈¬i␈¬
)␈¬λ␈α
(written␈α
with␈α
initial␈α
caps)␈α
be␈α
the␈α
sets␈α
of␈α
all␈α
possible
␈↓ ↓H␈β	p␈¬λinput␈α
histories,␈α
state␈α
histories,␈α
output␈α
histories,␈α
and␈α
histories.
␈↓ α_␈β
0␈¬λThe␈αlaw␈αof␈αmotion␈αof␈αan␈α
automaton␈α
gives␈α
the␈α
state␈α
at␈α
any␈α
local␈α
time␈α
as␈α
a␈α
function␈α
of␈α
the␈α
input
␈↓ ↓H␈β
P␈¬λhistory␈αand␈αthe␈αstate␈αhistory.␈α⊗We␈αimpose␈αthe␈αfurther␈αcondition␈α
that␈α
the␈α
state␈α
at␈α
a␈α
given␈α
time␈α
depend
␈↓ ↓H␈β
p␈¬λonly␈α
on␈α
the␈α
past␈α
of␈α
the␈α
state␈α
and␈α
the␈αinput.␈α_If␈αthe␈αlocal␈αtime␈αis␈αtaken␈αas␈αan␈αinteger,␈αthen␈αthe␈αmost
␈↓ ↓H␈β⊂␈¬λimportant␈α∪case␈α∪is␈α∩when␈α∩the␈α∩state␈α∩depends␈α∩only␈α∩on␈α∩the␈α∩immediately␈α∩preceding␈α∩state␈α∩and␈α∩input.
␈↓ ↓H␈β0␈¬λMoreover,␈α∂the␈α∂general␈α∂case␈α∂of␈α∂integer␈α∂time␈α∂can␈α∂be␈α∂reduced␈α∂to␈α∞the␈α∞case␈α∞of␈α∞depending␈α∞only␈α∞on␈α∞the
␈↓ ↓H␈βP␈¬λimmediately␈α∂preceding␈α∂time␈α∂by␈α∂replacing␈α∂the␈α∂automaton␈α∂A␈¬i␈¬λ␈α∂by␈α∂an␈α∂automaton␈α∂A'␈¬␈αzi␈¬λ␈α∞whose␈α∞states␈α∞are
␈↓ ↓H␈βp␈¬λcomplete␈α∞pasts␈α∞of␈α∞the␈α∞states␈α
of␈α
A␈¬i␈¬λ.␈α~While␈α
this␈α
reduction␈α
is␈α
conceptually␈α
always␈α
possible,␈α
it␈α
may␈α
be
␈↓ ↓H␈β⊂␈¬λcomputationally␈α
simpler␈α
not␈α
to␈α
do␈α
it␈α
in␈α
a␈α
particular␈α
case␈α
(if␈α
we␈α
ever␈α
get␈α
to␈α
a␈α
particular␈α
case).
␈↓ α_␈βP␈¬λWhen␈α
we␈α
have␈α
a␈α
continuous␈α
time␈α
and␈α
the␈α
state␈α
is␈α
given␈α
by␈α
a␈α
real␈αvariable␈αor␈αvector␈αof␈αreal
␈↓ ↓H␈βp␈¬λvariables,␈α
then␈α
a␈α
main␈α
case␈α
of␈α
interest␈α
is␈α
when␈α
we␈α
have␈α
a␈α
differential␈α
equation
␈↓ ¬"␈β
)␈¬	 ␈¬λ␈↓#o␈α≥dt␈↓#∩␈αId state␈α@␈αl␈↓!xS␈α@␈αm␈↓!yS␈¬	 ␈¬λ  =  F(state, input, t)
␈↓ ↓H␈β∞¬␈¬λ(In␈αorder␈αto␈αbe␈αsure␈αonly␈αthe␈αpast␈αis␈αinvolved␈αyou␈αcould␈αspecify␈αa␈αleft␈αhand␈αderivative,␈αbut␈αit␈αwon't
␈↓ ↓H␈β∞%␈¬λmatter␈α
if␈α
all␈α
the␈α
functions␈α
are␈α
smooth␈α
enough.)
␈↓ α_␈β∞e␈¬λThe␈α⊂output␈α⊂law␈α∂of␈α∂an␈α∂automaton␈α∂gives␈α∂the␈α∂output␈α∂as␈α∂a␈α∂function␈α∂of␈α∂the␈α∂state.␈α≡(Something
␈↓ ↓H␈β∂¬␈¬λmight␈α∀be␈α∀gained␈α∀by␈α∀letting␈α∀the␈α∀output␈α∀depend␈α∀on␈α∀the␈α∀pasts␈α∀of␈α∀the␈α∀state␈α∀and␈α∪input␈α∪if␈α∪it␈α∪is
␈↓ ↓H␈β∂%␈¬λcomputationally␈α
or␈α
mathematically␈α
convenient␈α
in␈α
a␈α
particular␈α
case.)
␈↓ f␈βg␈¬λ2
␈↓ α_␈β↓h␈¬λThe␈α⊂interaction␈α⊂between␈α⊂automata␈α⊂is␈α⊂specified␈α⊂by␈α⊂a␈α∂law␈α∂which␈α∂gives␈α∂the␈α∂input␈α∂of␈α∂A␈¬i␈¬λ␈α∂as␈α∂a
␈↓ ↓H␈βαλ␈¬λfunction␈αof␈αthe␈αoutput␈αhistories␈αof␈αall␈αthe␈αautomata␈αsubject␈αto␈αa␈α
causality␈α
condition.␈α∀The␈α
idea␈α
of␈α
the
␈↓ ↓H␈βα(␈¬λcausality␈αcondition␈αis␈αagain␈αto␈αallow␈αthe␈αstate␈αto␈αdepend␈α
only␈α
on␈α
the␈α
past,␈α
but␈α
since␈α
we␈α
do␈α
not␈α
have␈α
a
␈↓ ↓H␈βαH␈¬λcorrespondence␈α
between␈α
the␈α
times␈α
of␈α
the␈α
different␈α
automata,␈α
we␈α
proceed␈α
as␈α
follows:
␈↓ α_␈ββπ␈¬λForm␈αthe␈α
disjoint␈α
union␈α
of␈α
all␈α
the␈α
local␈α
time␈α
spaces␈α
and␈α
take␈α
a␈α
partial␈α
ordering␈¬
␈α
<␈¬λ␈α
on␈α
that␈α
space
␈↓ ↓H␈ββ'␈¬λconsistent␈αwith␈αthe␈αlocal␈αorderings␈αof␈αlocal␈αtimer,␈αi.e.␈αif␈¬
␈α
t␈¬i␈¬
␈α
ε␈α
times␈α
(A␈¬i␈¬
)␈¬λ␈α
and␈¬
␈α
t'␈¬␈αzi␈¬
␈α
ε␈α
times␈α
(A␈¬i␈¬
)␈¬λ,␈α
then␈¬
␈α
t␈¬i␈¬
␈α
<␈¬
␈α
t'␈¬␈αzi␈¬∂␈↓#¬␈α
≡␈↓#
␈↓ ↓H␈ββG␈¬
t␈¬i␈¬
␈α<␈αt'␈¬␈αzi␈¬λ.␈α∀This␈α
can␈α
be␈α
done␈α
trivially␈α
by␈α
taking␈α
t␈¬
␈α
<␈¬λ␈α
t'␈α∧if␈α
and␈α
only␈α
if␈α
t␈α
and␈α
t'␈α∧are␈α
in␈α
the␈α
same␈¬
␈α
times␈α
(A␈¬i␈¬
)␈¬λ␈α
and
␈↓ ↓H␈ββh␈¬λt␈α
<␈α
t',␈α
but␈α
in␈α
the␈α
trivial␈α
case␈α
the␈α
automata␈α
won't␈α
interact.
␈↓ α_␈β∧(␈¬λWe␈αnow␈αrequire␈αthat␈αfor␈αany␈αt␈¬	␈αε␈¬
␈αtimes␈α(A␈¬i␈¬
)␈¬λ,␈¬
␈αinput␈¬i␈¬
(t)␈¬λ␈αdepend␈αonly␈αon␈¬
␈αoutput␈¬j␈¬
(T)␈¬λ␈αfor␈αvalues␈αT
␈↓ ↓H␈β∧G␈¬λsatisfying␈α
T␈¬
<␈¬λt.
␈↓ α_␈β¬λ␈¬λIn␈αthe␈αinteger␈αtime␈α
non-relativistic␈α
case,␈α
the␈α
correspondence␈α
between␈α
the␈α
local␈α
times␈α
reduces␈α
the
␈↓ ↓H␈β¬'␈¬λordering␈¬
␈α⊂<␈¬λ␈α⊂to␈α⊂the␈α⊂ordering␈α⊂<,␈α⊂and␈α⊂instead␈α⊂of␈α⊂letting␈α⊂input␈¬i␈¬λ(t␈¬i␈¬λ)␈α⊂depend␈α⊂on␈α⊂the␈α⊂entire␈α∂pasts␈α∂of␈α∂the
␈↓ ↓H␈β¬H␈¬λoutputs␈α
of␈α
the␈α
automata,␈α
it␈α
depends␈α
only␈α
on␈α
the␈α
outputs␈α
at␈α
the␈α
immediately␈α
preceding␈α
time.
␈↓ α_␈βελ␈¬λWe␈α⊂can␈α⊂express␈α⊂this␈¬	␈α⊂immediacy␈¬λ␈α⊂condition␈α∂in␈α∂the␈α∂relativistic␈α∂case␈α∂by␈α∂introducing␈α∂a␈α∂function
␈↓ ↓H␈βε#␈¬∞J␈¬ij␈¬λ(t␈¬i␈¬λ)␈α∞and␈α∞requiring␈α∞that␈α∞input␈¬i␈¬λ(t␈¬i␈¬λ)␈α∞depend␈α∞precisely␈α∞on␈α∞the␈α∞output␈¬j␈¬λ(␈¬∞J␈¬ij␈¬λ(t␈¬i␈¬λ))␈α∞for␈α∞all␈α∞j's.␈α≤The␈α∞function
␈↓ ↓H␈βεE␈¬∞J␈¬ij␈¬λ(t␈¬i␈¬λ)␈α∂can␈α∂be␈α∂used␈α∂to␈α∂determine␈α∂the␈α∂partial␈α∞ordering␈¬
␈α∞<␈¬λ,␈α∞and␈α∞any␈¬∞␈α∞J␈¬ij␈¬λ␈α∞will␈α∞do␈α∞provided␈α∞it␈α∞allows␈α∞no
␈↓ ↓H␈βεj␈¬λcycles␈α
whereby␈α
the␈α
future␈α
or␈α
the␈α
present␈α
of␈α
an␈α
automaton␈α
can␈α
affect␈α
its␈α
present.
␈↓ α_␈βπ*␈¬λThe␈α
formalism␈α
includes␈α
partial␈α
differential␈α
equations␈α
of␈α
the␈α
sort␈α
where
␈↓ ∧p␈βπc␈¬	 ␈¬λ␈↓#o␈α∧∂t␈↓#∩␈αc∂u␈α←␈↓!x ␈α`␈↓!y ␈¬	 ␈¬λ  =  F(x, y, ␈¬	 ␈¬λ␈↓#o∂x␈↓#∩␈αb∂f␈αb␈↓!x ␈α`␈↓!y ␈¬	 ␈¬λ, ␈¬	 ␈¬λ␈↓#o∂y␈↓#∩␈αc∂f␈αd␈↓!x≥␈αc␈↓!y≥␈¬	 ␈¬λ, ␈¬	 ␈¬λ␈↓#i∂x␈¬␈↓#i2␈¬λ␈↓#∩␈αU∂␈¬␈↓#∩2␈¬λ␈↓#∩f␈αU␈↓!x-␈αS␈↓!y-␈¬	 ␈¬λ, etc).
␈↓ ↓H␈βλK␈¬λWe␈α
then␈α
have␈α
to␈αattach␈αan␈αautomaton␈αto␈αeach␈αpoint␈αof␈αspace.␈α_(The␈αphysics␈αminded␈αreader␈αshould
␈↓ ↓H␈βλk␈¬λimagine␈αMaxwell's␈αequations␈αconsidered␈αthis␈αway,␈αbut␈αmay␈αfind␈αhimself␈αdiscouraged␈αby␈αthe␈α
fact␈α
that
␈↓ ↓H␈β	␈¬λthe␈αautomata␈αdon't␈αretain␈αtheir␈αidentity␈αunder␈αLorentz␈αtransformations.␈α⊗Clearly,␈αthis␈α
is␈α
something␈α
to
␈↓ ↓H␈β	+␈¬λworry␈α
about␈α
in␈α
the␈α
general␈α
relativistic␈α
theory␈α
of␈α
automata).
␈↓ ↓H␈β	k␈¬λEquivalence␈α
of␈α
automaton␈α
systems
␈↓ α_␈β
&␈¬λLet␈αA␈αand␈αB␈αbe␈αautomaton␈αsystems.␈α∃Suppose␈α
there␈α
is␈α
a␈α
1-1␈α
map␈¬∞␈α
J␈¬λ␈α
of␈α
the␈α
set␈α
H(A)␈α
of␈α
histories
␈↓ ↓H␈β
F␈¬λof␈αA␈αonto␈α
H(B)␈α
satisfying␈α
the␈α
following␈α
causality␈α
condition:␈α∀there␈α
are␈α
functions␈¬∞␈α
J␈¬ij␈¬λ(t␈¬i␈¬λ)␈α
and␈¬∞␈α
Y␈¬ji␈¬λ(t␈¬i␈¬λ)␈α
such
␈↓ ↓H␈β
h␈¬λthat␈αthe␈αstate␈αof␈αA␈¬i␈¬λ␈αat␈αlocal␈αtime␈αt␈¬i␈¬λ␈αdepends␈α
only␈α
on␈α
the␈α
states␈α
of␈α
B␈¬j␈¬λ's␈α
at␈α
times␈α
preceding␈¬∞␈α
J␈¬ij␈¬λ(t␈¬i␈¬λ)␈α
and␈α
the
␈↓ ↓H␈β
␈¬λstate␈αof␈αB␈¬j␈¬λ␈αat␈αlocal␈αtime␈αt␈¬j␈¬λ␈αdepends␈αonly␈αon␈αthe␈αstates␈αof␈αthe␈αA␈¬j␈¬λ's␈αat␈αtimes␈αpreceding␈¬∞␈αY␈¬ji␈¬λ(t␈¬i␈¬λ).␈α⊗The␈αcase
␈↓ ↓H␈β,␈¬λin␈αwhich␈αthe␈αstate␈αof␈αA␈¬i␈¬λ␈αat␈αtime␈αt␈¬i␈¬λ␈αdepends␈αon␈αthe␈αstates␈αof␈αthe␈αB␈¬j␈¬λ's␈αat␈αthe␈αtimes␈¬∞␈αJ␈¬λ'␈¬␈αz2j␈¬λ(t␈¬i␈¬λ)␈αonly␈αand␈αthe
␈↓ ↓H␈βN␈¬λstate␈α⊃B␈¬j␈¬λ␈α⊃at␈α⊃time␈α⊃t␈¬j␈¬λ␈α⊃depends␈α⊃on␈α⊃the␈α⊃states␈α⊃of␈α⊃the␈α⊃A␈¬i␈¬λ's␈α⊃at␈α⊂the␈α⊂times␈¬∞␈α⊂Y␈¬λ'␈¬␈αzji␈¬λ(t␈¬j␈¬λ)␈α⊂only␈α⊂will␈α⊂be␈α⊂called␈α⊂the
␈↓ ↓H␈βs␈¬λimmediate␈α
case.
␈↓ α_␈β3␈¬λWhen␈αtwo␈αautomaton␈αsystems␈αcorrespond␈αin␈αthis␈αway␈αwe␈αshall␈α
call␈α
them␈α
equivalent.␈α∀Note␈α
that
␈↓ ↓H␈βS␈¬λthere␈αneed␈αbe␈αno␈αcorrespondence␈αbetween␈αthe␈αsubautomata␈αof␈αone␈αsystem␈αand␈αthose␈α
of␈α
the␈α
other.␈α∀(If
␈↓ ↓H␈βs␈¬λwe␈α→regard␈α→Maxwell's␈α_equations␈α_in␈α_two␈α_different␈α_co-ordinate␈α_systems␈α_related␈α_by␈α_a␈α_Lorentz
␈↓ ↓H␈β
∪␈¬λtransformation␈α
defining␈α
automaton␈α
systems,␈α
the␈α
systems␈α
will␈α
be␈α
equivalent.)
␈↓ ↓H␈β
s␈¬λSpace-like␈α
surfaces
␈↓ α_␈β∞3␈¬λA␈α∂space-like␈α∂surface␈α∂S␈α∂is␈α∂an␈α∞assignment␈α∞T␈¬i␈¬λ␈α∞of␈α∞local␈α∞times␈α∞to␈α∞the␈α∞automata␈α∞A␈¬i␈¬λ␈α∞such␈α∞that␈α∞the
␈↓ ↓H␈β∞S␈¬λvalue␈α
of␈α
state␈¬i␈¬λ(T␈¬i␈¬λ)␈α
depends␈α
only␈α
on␈α
values␈α
of␈α
the␈α
states␈α
of␈α
the␈α
other␈α
automata␈α
A␈¬j␈¬λ␈α
for␈α
times␈α
prior␈α
to␈α
T␈¬j␈¬λ.
␈↓ ↓H␈β∞s␈¬λIn␈αthe␈αrelativity␈αcase,␈αan␈αassignment␈αof␈αvalues␈αof␈αa␈αfield␈αon␈αa␈αspacelike␈αsurface␈αallows␈αthe␈αfield␈αto␈αbe
␈↓ ↓H␈β∂∪␈¬λdetermined␈αfor␈αfuture␈αtimes.␈α_In␈αthe␈αautomaton␈αcase␈αthe␈αsituation␈αis␈αmore␈αcomplicated;␈αwe␈αmust␈αalso
␈↓ ↓H␈β∂3␈¬λspecify␈αany␈α
outputs␈α
that␈α
may␈α
be␈α
required␈α
for␈α
continuation,␈α
and␈α
the␈α
times␈α
for␈α
which␈α
those␈α
outputs␈α
are
␈↓ f␈βg␈¬λ3
␈↓ ↓H␈β↓H␈¬λrequired␈αmay␈αgo␈αarbitrarily␈αfar␈αback␈αin␈αthe␈αlocal␈αtimes␈αof␈α
the␈α
automata.␈α∀Obviously␈α
some␈α
restrictions
␈↓ ↓H␈β↓h␈¬λon␈α
the␈α
times␈α
for␈α
which␈α
outputs␈α
are␈α
required␈α
would␈α
make␈α
computation␈α
simpler.
␈↓ ↓H␈βα(␈¬λAn␈α
example
␈↓ α_␈βαh␈¬λShe␈α
and␈α
he␈α
are␈α
lovers␈α
by␈α
correspondence.␈α~She␈α
writes␈α
to␈α
him␈α
every␈α
day,␈α
but␈α
he␈α
receives␈αthe
␈↓ ↓H␈ββλ␈¬λmail␈α∞and␈α∞writes␈α
a␈α
letter␈α
only␈α
on␈α
Saturday.␈α~The␈α
letter␈α
he␈α
writes␈α
on␈α
Saturday␈α
arrives␈α
the␈α
following
␈↓ ↓H␈ββ(␈¬λThursday␈α
morning␈α
and␈α
the␈α
letters␈α
she␈α
writes␈α
by␈α
Tuesday␈αarrive␈αSaturday␈αmorning␈αbut␈αsubsequent
␈↓ ↓H␈ββH␈¬λletters␈αarrive␈αonly␈αthe␈αfollowing␈αSaturday.␈α⊗Her␈αlove␈αfor␈αhim␈αand␈αhis␈αlove␈αfor␈αher␈αare␈αeach␈αgiven␈αby
␈↓ ↓H␈ββh␈¬λa␈αnon-negative␈αinteger.␈α⊗In␈αeach␈αletter␈αhe␈αtransmits␈αhis␈αlove␈αfor␈αher␈αand␈αshe␈αher␈αlove␈αfor␈αhim␈α
except
␈↓ ↓H␈β∧λ␈¬λthat␈α∂if␈α∂his␈α∂love␈α∂is␈α∂greater␈α∂than␈α∂100,␈α∂he␈α∂also␈α∂transmits␈α∂a␈α∂proposal␈α∂of␈α∂marriage.␈α≥If␈α∞she␈α∞receives␈α∞a
␈↓ ↓H␈β∧(␈¬λproposal␈αshe␈αaccepts␈α
it␈α
if␈α
her␈α
love␈α
is␈α
greater␈α
than␈α
100␈α
and␈α
declines␈α
it␈α
otherwise.␈α∀The␈α
game␈α
ends␈α
with
␈↓ ↓H␈β∧H␈¬λan␈α
accepted␈α
proposal␈α
or␈α
if␈α
both␈α
loves␈αreach␈α0.␈α_Her␈αlove␈αdeclines␈αby␈αone␈αunit␈αeach␈αday␈αshe␈αdoesn't
␈↓ ↓H␈β∧h␈¬λreceive␈α
a␈α
letter.␈α∀When␈α
she␈α
receives␈α
a␈α
letter␈α
her␈α
love␈α
is␈α
increased␈α
by
␈↓ ε:␈β¬#␈¬λ[␈¬	 ␈¬∂␈↓#v2␈↓#␈αtm␈αt␈↓!x␈αu␈↓!y␈¬	 ␈¬λ],
␈↓ ↓H␈β¬i␈¬λwhere␈α
m␈α
is␈α
the␈α
amount␈α
of␈α
love␈αin␈αthe␈αletter␈αunless␈αthe␈αletter␈αcontains␈αa␈αproposal␈αin␈αwhich␈αcase␈αher
␈↓ ↓H␈βε	␈¬λlove␈α
is␈α
doubled.␈α∀His␈α
love␈α
is
␈↓ ¬A␈βεD␈¬λmax([␈¬	 ␈¬∂␈↓#v2␈↓#␈αt1␈αt␈↓!x␈αu␈↓!y␈¬	 ␈¬λm + ␈↓!g∞␈αr␈↓!h∞␈α¬- 50r], 0),
␈↓ εd␈βεI␈¬∂␈¬	l 
␈↓ ↓H␈¬λwhere␈αm␈αis␈αhis␈αlove␈αof␈αthe␈αpreceding␈αweek,␈α␈↓!g∞␈αr␈↓!h∞␈α¬is␈αthe␈αaverage␈αlove␈αin␈αthe␈αletters␈αhe␈αreceives␈αand␈αr␈αis␈α1␈↓ ε
␈βπ
␈¬∂␈¬	l 
␈↓ ↓H␈βπ*␈¬λif␈αa␈αletter␈αcontains␈αa␈αrejection␈αof␈αa␈αproposal␈αand␈α0␈αotherwise.␈α_Initially␈αshe␈αdoesn't␈αlove␈αhim,␈αbut␈αhe
␈↓ ↓H␈βπJ␈¬λsees␈α
her␈α
picture␈α
which␈α
inspires␈α
an␈α
amount␈α
of␈α
love␈α
m␈¬o␈¬λ␈αand␈αthe␈αromance␈αstarts.␈α_What␈αvalues␈αof␈αm␈¬o
␈↓ ↓H␈βπj␈¬λlead␈α
to␈α
marriage?
␈↓ α_␈βλ*␈¬λHis␈αlocal␈αtime␈αis␈αmeasured␈αin␈αweeks␈αand␈αhers␈αin␈αdays.␈α∀If␈α
we␈α
start␈α
her␈α
local␈α
time␈α
at␈α
T=0␈α
on␈α
the
␈↓ ↓H␈βλJ␈¬λThursday␈αshe␈αreceives␈αhis␈αfirst␈αletter␈αand␈αhis␈αat␈αt=0␈αwhen␈αhe␈αsends␈αhis␈αfirst␈α
letter,␈α
then␈α
the␈α
course␈α
of
␈↓ ↓H␈βλj␈¬λthe␈α
affair␈α
is␈α
described␈α
by␈α
the␈α
equations
␈↓ ↓H␈β	*␈¬λ1)␈↓ α_m(t) = ␈¬
if␈¬λ t=0 ␈¬
 then ␈¬λm␈¬o
␈↓ βM␈β	G␈¬
else ␈¬λmax(0,[␈¬	 ␈¬∂␈↓#v␈↓ ∧p2␈↓#␈↓ ∧p1␈↓ ∧p␈↓!x␈↓ ∧p␈↓!y␈¬	␈↓ ∧{ ␈¬λm(t-1) + ␈¬	 ␈¬∂␈↓#v␈↓ ¬{7␈↓#␈↓ ¬{1␈↓ ¬{␈↓!x␈↓ ¬{␈↓!y␈¬	␈↓ εε ␈¬λ(␈¬	l␈¬λ(7t-9) + ␈¬	l␈¬λ(7t-10) + ... + ␈¬	l␈¬λ(7t-15))
␈↓ ¬Z␈β	m␈¬λ+ (␈¬
if␈¬λ r(t7-14)=1 ␈¬
then␈¬λ -50 ␈¬
else␈¬λ 0)]),
␈↓ ↓H␈β
-␈¬λ2)␈↓ α_p(t) = ␈¬
if␈¬λ m(t) > 100 ␈¬
then␈¬λ 1 ␈¬
else␈¬λ 0,
␈↓ ↓H␈β
h␈¬λ3)␈¬	␈↓ α_l␈¬λ(T) = ␈¬
if␈¬λ 7|T ␈¬
then␈¬λ (if p(␈¬	 ␈¬∂␈↓#v␈↓ ∧V7␈↓#␈↓ ∧VT␈↓ ∧V␈↓!x␈↓ ∧V␈↓!y␈¬	␈↓ ∧a ␈¬λ)=␈¬
then␈¬λ 2␈¬	l␈¬λ(T-1) ␈¬
else␈¬λ ␈¬	l␈¬λ(T-1) + [␈¬	 ␈¬∂␈↓#v␈↓ πd2␈↓#␈↓ πd1␈↓ πd␈↓!x␈↓ πd␈↓!y␈¬	␈↓ πo ␈¬λm(␈¬	 ␈¬∂␈↓#v␈↓ λ$7␈↓#␈↓ λ$T␈↓ λ$␈↓!x␈↓ λ$␈↓!y␈¬	␈↓ λ/ ␈¬λ)])
␈↓ βF␈β∞␈¬
else␈¬λ max(0, ␈¬	l␈¬λ(T-1)-1),
␈↓ ↓H␈βN␈¬λand
␈↓ ↓H␈β	␈¬λ4)␈↓ α_r(T) = ␈¬
if␈¬λ 7|T ∧ p(␈¬	 ␈¬∂␈↓#v␈↓ ∧λ7␈↓#␈↓ ∧λT␈↓ ∧λ␈↓!x␈↓ ∧λ␈↓!y␈¬	␈↓ ∧∪ ␈¬λ) ∧ ␈¬	l␈¬λ(T) ≤ 100 ␈¬
then␈¬λ 1 ␈¬
else␈¬λ 0.